文章总结： 文档讲解了高等数学中商的求导法则及其在复合函数求导中的应用。作者回顾了链式法则和反三角函数求导公式，详细拆解了求解y=arctan((1+x)/(1-x))导数的过程，包含公式推导、代数化简及定义域讨论。内容旨在通过具体习题帮助学生掌握相关微积分解题技巧。
综合评分： 15
文章分类： 其他
高数挂科补救计划-初中基础反向学习高数题-商的求导法则
原创
小志z
志在片语
2026年1月3日 02:18
山东
一晃眼就26年了，离考试周还有三周不到的时间(我要快一点速通一下了 （希望不挂科
求导
回顾上一题的解题思路
对于
先回顾所有用到的公式
- 反三角函数求导公式（核心）
- 三角函数求导公式
- 链式法则
- 三角恒等式
- 绝对值处理规则
带入公式解题
步骤1：识别函数结构函数：y = arcsin(sin x) 结构：反三角函数 arcsin 套在三角函数 sin x 外面 → 复合函数
步骤2：设中间变量设 u = sin x，则：
- 外层：y = arcsin u
- 内层：u = sin x
步骤3：应用链式法则
步骤4：代入公式计算(1) 外层导数（反三角公式）：
(2) 内层导数（三角公式）：
(3) 相乘得：
步骤5：代回 u = sin x
步骤6：使用三角恒等式化简
步骤7：处理平方根
所以：
步骤8：分析符号（分段讨论）
当
当
未定义当
步骤9：确定具体区间
(1) cos x > 0：
(2) cos x < 0：
(3) cos x = 0：
回到这道题
求导
很明显的能看出来和上道题基本一致，可是内层函数不是简单的用求导公式就能解决的，因为是除法所以要用到商的求导法则，先学习一下这个东西
商的求导法则
商的求导法则用于求两个函数相除的导数。
公式如下：
为了快速做题今天先不推导了 先交上期末作业再说 之后学习推导
简单来说就是 分子导数乘分母，减去分子乘分母导数，整体除以分母平方
举个简单例子： 求 的导数
设 ，
代入公式：
本题需要用到的所有公式
反正切函数求导公式
链式法则
商的求导法则（新学的）
解题步骤
步骤1：识别函数结构函数：结构：反三角函数 套在分式函数 外面 → 复合函数
步骤2：设中间变量设 ，则：
- 外层：
- 内层：
步骤3：应用链式法则
步骤4：计算外层导数
步骤5：计算内层导数（使用商的求导法则）这里 ，可以看成：
- 分子：，
- 分母：，
代入商的求导公式：
步骤6：相乘得到导数
步骤7：代回 并化简
化简括号内的部分：
代入 ：
步骤8：检查定义域
- 原函数：分母 ，所以
- 导数： 对任意实数 都有定义
- 但 时原函数无定义，所以最终定义域：
步骤9：最终答案
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